Question

设函数f(x)=mx-mx-2lnx．（1）当m=1，x＞1时，求证：f（x）＞...

设函数f(x)=mx-mx-2lnx． （1）当m=1，x＞1时，求证：f（x）＞0； （2）若对于x∈[1，3]，均有f（x）＜2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当m=1时，f（x）=x-1x-2lnx，f′ (x)=1+1x2-2x=(x-1)2x2
对∀x∈（1，+∞），有f′（x）＞0．∴f（x）在（1，+∞）为单调增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）=0．
（2）对任意x∈[1，3]，∴f′（x）＜2 恒成立等价于f(x)max＜2(x∈[1，3])
当m=0时，∵f′ (x)=-2x＜0，∴f（x）在[1，3]上为单调减函数．∴f（x）max=f（1）=0＜2
当m＜0时，对任意x∈[1，3]，f′(x)=mx2-2x+mx2＜0，∴f(x)max＜2(x∈[1，3])成立．
当m＞0时，f′(x)=mx2-2x+mx2
（a）当4-4m2≤0，即m≥1时，f′（x）＞0对任意的x∈(1，3)恒成立，
∴f（x）在[1，3]上是增函数．∴f(x)max=f(3) =m(3-13)-2ln3，
由m(3-13)-2ln3＜2，解得m＜3(1+ln3)．∴1≤m＜3(1+ln3)．
（b）当4-4m2＞0，即0＜m＜1时，令f′（x）=0，得x=1+1-m2m＞1，令1+1-m2m=3，得m=32
1）当0＜m≤32时，x=1m+ 1m2-1≥23+ (23)2-1=3，f（x）在[1，3]上是减函数，∴f（x）max=f（1）=0＜2．
2）当32＜m＜1时，x=1m+1m2-1＜3，则f（x）在（1，x2）上是减函数，∴f（x）在(x2，3)上是增函数，
∴当x=1或x=3时，f（x）取最大值．∴f(1)＜2f(3) ＜2，即m＜3(1+ln3)，∴32＜m＜1．
综上，m的取值范围是(-∞，3(1+ln3))．