Question

证明:若三角形三边a,b,c满足a³+b³=c³.则这个三角形是锐角三角形.

Answer 1

a³+b³=c³

(a+b)(a^2+b^2-ab)=c^3
由于 a+b>c
所以a^2+b^2-ab<c^2
a^2+b^2-c^2<ab
(a^2+b^2-c^2)/ab<1

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)<1/2
所以60°<C<90°
又C是最大的角，所以这个三角形是锐角三角形

Answer 2

证明：
a^3+b^3=c^3
则：c>a c>b
大角对大边，C＞A　　C＞B
于是，只要证明C<pai/2即可，其它角＜C．∵ a^3+b^3=c^3 ，c为最大边
两边同时除以c^3
∴(a/c)^3+(b/c)^3=1
∵0<a/c<1,0<b/c<1
∴(a/c)³<(a/c)²,(b/c)³<(b/c)²
∴1=(a/c)³+(b/c)³<(a/c)²+(b/c)²
∴a²+b²>c²
根据余弦定理
∴cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)>0
∴C<π/2成立