Question

为什么说函数有极限就是局部有界的?

Answer 1

数列如果存在极限，那么它前面的有限项必然都是有限的数，所以肯定有界，而后面的无限多项由于极限的存在性所以也一定有界的，但是函数不具有这样的特性。

函数的局部有界性是指函数在极限点的邻域内有界，而在整个定义域上并不一定有界。数列其实可以看作是一个离散的函数，但数列求极限是总是令N趋向于无穷大。而函数求极限则不然，因此数列的有界性是对于整个数列而言的。

举例

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如：y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如（-π／2，π／2)内则无界。

sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。