Question

逆矩阵的特征值是什么？

Answer 1

矩阵的特征值等于逆矩阵特征值的倒数，反过来也一样。

证明： 设λ是A的特征值，

α是A的属于特征值λ的特征向量则Aα=λα。若A可逆，

则λ≠0。等式两边左乘A^-1，

得α=λA^-1α。所以有 A^-1α=（1/λ）α所以

（1/λ）是A^-1的特征值，

α是A^-1的属于特征值1/λ的特征向量。所以互逆矩阵的特征值互为倒数。

（1）逆矩阵的唯一性 

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A-1。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r(A)=m。

对n阶方阵A,若r(A)=n,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论 满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。