Question

高数证明

Answer 1

令f(x)＝x^p+(1－x)^p，0<=x<=1。
则f'(x)＝px^(p－1)－p(1－x)^(p－1)，
f''(x)＝p(p－1)(x^(p－2)+(1－x)^(p－2))>0，0<x<1。
故f(x)在[0，1]上是凸函数，由凸函数的性质有
f(x)<=tf(0)+(1－t)f(1)＝1，其中t＝1－x。
f(1/2)<＝(f(x)+f(1－x))/2，除以2即得
1/2^(p－1)<=x^p+(1－x)^p

追问

朋友，f''(x)>0 是凹函数啊。。。。。还能再帮忙想想吗，谢谢

追答

那只是称呼不同，但结论是正确的。
非数学专业的一般都称为下凸函数，
数学专业的没有凹函数，下凸函数这些名字，就叫凸函数。
这不是问题的本质。
后面的证明过程是没有任何问题的。

追问

f(x)<=tf(0)+(1－t)f(1)＝1，其中t＝1－x。
f(1/2)<＝(f(x)+f(1－x))/2，除以2即得
1/2^(p－1)<=x^p+(1－x)^p
后面这几段完全看不懂啊。。。。

追答

按照凸函数的定义，f(ta+(1－t)b)<=tf(a)+(1－t)f(b)，
取t＝1－x，a＝0，b＝1有
f(x)＝f((1－x)*0+x*1)<=(1－x)*f(0)+x*f(1)＝1。
取t＝1/2，a＝x，b＝1－x，得
1/2^(p－1)＝f(1/2)＝f(x/2+(1－x)/2)<=f(x)/2+f(1－x)/2＝x^p+(1－x)^p。