Question

已知函数f(x)=(x^2+ax+7+a)/(x+1),a∈R 若对于任意的x∈N+,f(x)>=4恒成立，求a的取值范围

Answer 1

x∈N+=>(x+1)∈N+
x²+ax+7+a=(x+1)²+(a-2)(x+1)+8
f(x)=(x²+ax+7+a)/(x+1)
=(x+1)+(a-2)+8/(x+1)
=[(x+1)+8/(x+1)]+(a-2)
≥2√8+(a-2)
=a+(4√2-2)
即 f(x)min=a+(4√2-2)
且 f(x)≥4恒成立
则 a+(4√2-2)≥4
得 a≥6-4√2

另，若学过导数，可直接对f(x)求导，求出极值，再求出最小值f(x)min，使f(x)min≥4即可。

Answer 2

楼上的帅锅：
[(x+1)+8/(x+1)]+(a-2)≥2√8+(a-2)
等号成立的条件是x+1=8/(x+1)，即x=2sqrt(2)-1
但题目告诉我们，x∈N+，也就是说x只能取1、2、3、4....
你同意不？那你的等号都不成立，你觉得对吗？
这个答案我也早做出来了，但觉得不怎么对，与题意不符呀！

Answer 3

(x^2+ax+7+a)/(x+1)>4 对于任意的x∈N+ 则x^2+ax+7+a>4x+4 -a(x+1)<x^2-4x+3
-a<(x^2-4x+3)/(x+1)=(x+1)+8/(x+1)-6 对x∈N+恒成立,
设t=x+1 g(t)=t+8/t-6 可证得t≥3时g(t)递增，
g(t)≥g(3)=-1/3 而g(2)=0 所以g(t)的最小值是-1/3 所以-a＜-1/3 所以a＞1/3

Answer 4

f(x)=(x^2+ax+7+a)/(x+1)>=4,分离变量得a>=4-(x^2+7)/(x+1)=4-[x+1+8/(x+1)-2]恒成立只需求4-[x+1+8/(x+1)-2]的最大值，可得当x+1=2根2时有最大值，但由于题目限制正整数，则可知x=2时有最大值1/3