Question

设a∈R,函数f(x)=x|x-a|-a.若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范

设a∈R,函数f(x)=x|x-a|-a.若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=x|x-a|-a
f(x)=x(x-a)-a=x²-ax-a x≥a ①
f(x)=x(a-x)-a=-x²+ax-a x≤a ②
①a²+4a<0即-4<a<0时，f(x)恒≥0
x∈[2,3],x恒>a→-4≤a≤0
f'(x)=2x-a
-4≤a≤0,f'(x)>0,f(x)单调递增
f(x)=0 x₀=(a+√a²+4a)/2
当x₀=(a+√a²+4a)/2≤2时，f(x)≥f(x₀)≥0
a≤4/3
②a²-4a<0即0<a<4时，f(x)恒<0
∴a≥4或（a≤0∈a≤4/3，无需考虑）
f'(x)=-2x+a
x<a/2,f'(x)>0,f(x)单调递增
x>a/2,f'(x)<0,f(x)单调递减
最小值=min[f(2),f(3)]
f(2)=-4+2a-a=a-4,恒≥0
f(3)=-9+3a-a=2a-9→a≥9/2
综上，a的取值范围是a≤4/3或a≥9/2。