Question

如图，在△ABC中，点E在AB边上，点F在AC边上，且向量AE=2向量EB，向量AF=1/3FC，BF与CE交于点M

设向量AM=x向量AE+yAF，则x+y的值为

Answer 1

因为 B、M、F 三点共线，因此存在实数 a 使 AM=a*AB+(1-a)*AF=3a/2*AE+(1-a)*AF ，
同理，E、M、C 三点共线，因此 AM=x*AE+(1-x)*AC=x*AE+4(1-x)*AF ，
比较已知可得 x=3a/2 ，y=4(1-x)=1-a ，
解得 x=9/10 ，a=3/5 ，y=4/10 ，
所以 x+y=13/10 。

Answer 2

以下线段均表示向量

易知AB=3/2AE，AC=4AF
令BM=mBF，CM=nCE
则有AM=1/(1+m)AB+m/(1+m)AF=3/2(1+m)AE+m/(1+m)AF
同理AM=1/(1+n)AC+n/(1+n)AE=n/(1+n)AE+4/(1+n)AF
于是有
3/2(1+m)=n/(1+n)
m/(1+m)=4/(1+n)
解得m,n
所以x+y=3/2(1+m)+n/(1+n)计算略