Question

就是这个题

当直线l:y=k(x-1)+2被圆C:(x-2)^2+(y-1)^2=5截得的弦最短时,k的值为多少

Answer 1

解：直线y=k(x-1)+2过定点M（1，2），圆(x-2)^2+(y-1)^2=5的圆心为（2，1），半径为r=√5，
显然点M在圆内
若直线y=k(x-1)+2被圆(x-2)^2+(y-1)^2=5截得的弦最短，
则圆心（2，1）与点M（1，2）的连线与直线y=k(x-1)+2垂直，
即k×(2-1)/(1-2)=-1，解得k=1
故k的值为 1

望采纳，若不懂，请追问。

追问

k×(2-1)/(1-2)=-1，这是什么，还有最短弦有什么性质吗

追答

(2-1)/(1-2)表示圆心O与M连线的斜率，因为垂直，所以k×kOM=-1(相互垂直的直线斜率之积为-1)
在一个圆中，圆心到弦的距离越远，弦越短，当OM是垂径的时候，显然弦长最短，这个是要记住的。

追问

已知两点坐标，可以确定一条直线，这条直线的斜率就是y2-y1/x2-x1，对吧
还有当OM是垂径的时候，显然弦长最短，这句话的意思是不是说当点M是个定点时，圆心和它的连线又垂直，此时才有过点M的弦长最短，但是一个点怎么确定直线

追答

一个点是没错，但现在只有斜率不知道啊，利用这条直线和OM垂直不就把斜率求出来了，这样直线的方程不也就确定了。。。
若不懂，私信问吧，记得采纳哦·~

Answer 2

-1
用点到直线的距离公式，直线到圆心距最大，弦最短
代入化简得 L^2=1-2k/(1+K^2),解得k=-1时l取最大值根号2

追问

不对，答案是1