Question

计算二重积分I=∫∫xye^(-x^2-y^2)dxdy，其中D为 x^2+y^2≤1在第一象限的区

计算二重积分I=∫∫xye^(-x^2-y^2)dxdy，其中D为 x^2+y^2≤1在第一象限的区域

Answer 1

x=rcosa y=rsina xy=r^2sinacosa dxdy=rdrda
-x^2-y^2=-r^2
rE[0,1] aE[0,pai/2]
原式=1/2∫∫r^3sin(2a)e^(-r^2)drda
=1/4∫r^3e^(-r^2)dr∫sin(2a)d(2a)
∫r^3e^(-r^2)dr=1/2∫-r^2d(e^(-r^2))
=1/2*e^(-r^2)*(-r^2)-1/2∫e^(-r^2)d(-r^2)
=-r^2*e^(-r^2)/2-e^(-r^2)/2+C=-e^(-r^2)(r^2+1)/2+C

∫sin(2a)d(2a)=-cos2a+C

原式=1/8 * [(-(1+1)/e+1][1+1]
=(1-2/e)/4

Answer 2

=-1/(4e)

Answer 3

用极座标:
=亅sinacosada亅r^3e^(-r^2)dr
=(sina)^2/2|(0,pi/2)*(1/2)亅r^2e^(-r^2)dr^2
=(1/4)(-r^2e^(-r^2)-e^(-r^2))|(0,1)=(1-2/e)/4