Question

一道几何证明题？

AB,AD,AC是圆的三条割线，分别交圆于E，F，G，连接BF，CE.CG.DF两两相交，连接交点交圆于H，求证AH为切线

Answer 1

三角函数证法

连BF、DF、AE、CE

由AE内分∠PAQ→由分角定理→

(EQ/PE)=(sin∠EAQ/sin∠PAE)（sin∠APQ/sin∠AQP）

由CE内分∠PCQ→由分角定理→

(EQ/PE)=(sin∠ECQ/sin∠ECP)（sin∠CPQ/sin∠CQP）

由∠EAQ=∠DFE=∠ECP，∠PAE=∠EFB=∠ECQ→

在这里仅考虑二次曲线为圆的情况

在PE上取一点G，使=PQ*PG=PA*PB=PC*PD

∴∠QBG=∠DPF，∠GO1O2=∠QBG=∠DPF，同理可得：∠GO2O1=∠BPF

∴∠O2O1O=∠GO2O1，∠O1O2O=∠GO1O2，△O1O2G≌△O1O2O(AAS)

∴四边形O1O2OG为等腰梯形，OG∥O1O2

∴(PE+PF)*PQ=2PE*PF，等式两端同时除以PE*PF*PQ得：1/PE+1/PF=2/PQ。证毕。

在数理逻辑中

形式化证明并不是以自然语言书写，而是以形式化的语言书写：这种语言是由一个固定的字母表中的字符所构成的字符串组成的。而证明则是以形式化语言表达的有限长度的序列。这种定义使得形式化证明不具有任何逻辑上的模糊之处。研究证明的形式化和公理化的理论称为证明论。尽管理论上来说，每个非形式化的证明都可以转为形式化证明，但实际中很少需要用到。

Answer 2

三角函数证法
在这里仅考虑二次曲线为圆的情况
连BF、DF、AE、CE
由AE内分∠PAQ→由分角定理→
(EQ/PE)=(sin∠EAQ/sin∠PAE)（sin∠APQ/sin∠AQP）
由CE内分∠PCQ→由分角定理→
(EQ/PE)=(sin∠ECQ/sin∠ECP)（sin∠CPQ/sin∠CQP）
由∠EAQ=∠DFE=∠ECP，∠PAE=∠EFB=∠ECQ→
（EQ·EQ）/（PE·PE）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠AQP·sin∠CQP）⑴。
由BF外分∠PBQ→
(FQ/PF)=(sin∠FBQ/sin∠PBF)（sin∠APQ/sin∠BQP○）
由DF外分∠PDQ→
(FQ/PF)=(sin∠FDQ/sin∠PDF)（sin∠CPQ/sin∠DQP○）
由∠FBQ与∠PDF，∠PBF与∠FDQ互补，→
（FQ·FQ）/（PF·PF）=（sin∠APQ·sin∠CPQ）/（sin∠CQP○·sin∠AQP○）⑵，（○表示互补）
⑴⑵→EQ/PE=FQ/PF→（PQ－PE）/PE=（PF－PQ）/PF→（PQ/PE）－1=1－（PQ/PF）→
PQ/PE+PQ/PF=2→1/PE+1/PF=2/PQ。证毕。

编辑 语音
几何证法
在这里仅考虑二次曲线为圆的情况
在PE上取一点G，使=PQ*PG=PA*PB=PC*PD
易证AQGB共圆，圆心为O1，BCQG共圆，圆心为O2
∵两圆圆心的连线段垂直于两圆交点的连线段
∴O1O2⊥PF，O1O⊥PB，O2O⊥PD
∴∠O2O1O=∠BPF，∠O1O2O=∠DPF
易证∠BGQ=∠PCQ=180°-∠BAQ
∴∠QBG=∠DPF，∠GO1O2=∠QBG=∠DPF，同理可得：∠GO2O1=∠BPF
∴∠O2O1O=∠GO2O1，∠O1O2O=∠GO1O2，△O1O2G≌△O1O2O(AAS)
∴四边形O1O2OG为等腰梯形，OG∥O1O2
又O1O2⊥PB，故OG⊥PB，垂径定理得：G为EF中点
∴2PG=PE+PF
又PG*PQ=PA*PB=PE*PF，∴2PG*PQ=2PE*PF
∴(PE+PF)*PQ=2PE*PF，等式两端同时除以PE*PF*PQ得：1/PE+1/PF=2/PQ。证毕。

Answer 3

本题结论是过两交点的直线与圆相交得到AH切线，其等效命题是求证两交点与上下两切点四点共线。问题化为：圆内接四边形BEFC的一组对边延长后相交于A，过A向圆引两条切线，切点H、G，求证四边形的对角线交点位于直线HG上。
堪比国际奥数大题，冥思苦索绞尽脑汁。
些许悬赏难激动力，搁笔寻友品茶赏诗。

Answer 4

你最好把这道题完整的写出来，最好把原题拍下来，再发表，这样别人才好做。

Answer 5

问题的实质与根轴有关，下面是初中纯几何证明方法，

这种问题只有我来解决！

一个编程问题，给了一个最优解，竟然被百度屡屡删除，可以说不输于百度任何一个编程员！