Question

证明n维向量α1，α2，……，αn线性无关的充分必要条件是任意n维向量都可以由它们线性表示

Answer 1

α1,α2,…αn线性无关，对任向量X

设X=t1 *αdu1+t2 *α2…+tn *αn

它们组成的方程组的系数行列式不为0

故方程组有唯一解

任一n维向量可由它们表示

故它们可以线性表示单位向量

故与单位向量组等价

例如：

证明：

1、充分性显然，因为n+1个n维向量必定线性相关，所以a可由a1,a2,……,an线性表示。

2、必要性：因shu为a是任意n维向量，所以a可由a1,a2,……,an线性表示意味着a1,a2,……,an能表出整个n维空间。若a1,a2,……,an线性相关，则极大线性无关组个数少于n，所以n维空间可由少于n个向量线性表示，这与维数的定义矛盾。

扩展资料：

① 一个向量可由向量组中其余向量线性表示，前提是这个向量组线性相关。

②线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示；但当其余向量线性无关时，这个向量必可由其余向量线性表示。

零向量可由任一组向量线性表示。

向量组α1，α2，……，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。

任一n维向量α=（α1，α2，……，αm）都可由n维单位向量组线性表示。

参考资料来源：百度百科-线性表示

Answer 2

α1,α2,…αn线性无关，对任向量X
设X=t1 *α1+t2 *α2…+tn *αn
它们组成的方程组的系数行列式不为0
故方程组有唯一解

任一n维向量可由它们表示
故它们可以线性表示单位向量
故与单位向量组等价

Answer 3

=> n+1个n维向量线性相关
所以对任一个n维向量β, 向量组α1,...,αn,β线性相关
所以β可由 α组线性表示
<= 由已知n维基本向量组可由α组线性表示
所以 r(n维基本向量组)<=r(α组)
即有 r(α组)=n

Answer 4

证明:若任意n维向量都可以由α1，α2，……，αn线性表示则单位矩阵E的列向量组也能由它们线性表示，于是存在C使得.E=（e1，e2，……，en）=（α1，α2，……，αn）C
则n=r(E)<=r(α1，α2，……，αn）待续