Question

已知向量m=(√3sinx/4,1),向量n=(cosx/4,√cosx/4∧2),f(x)=m·n (1)若f（x)=1,求cos(x+π/3）的值

(2)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围

Answer 1

m=(√3sinx/4,1),n=(cosx/4,cos2x/4)
f(x)=m*n=√3sinx/4*cosx/4+cos2x/4
=（√3/2)*2sinx/4*cosx/4+(1/2)(1+cosx/2)
=cos(π/6)sinx/2+sin(π/6)cosx/2+1/2
=sin(x/2+π/6)+1/2
f(x)=1
sin(x/2+π/6)=1/2
cos(x+π/3)=cos[2(x/2+π/6)]=1-2(sin(x/2+π/6))^2=1-2*1/4=1/2
(2)
利用正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入
（2a-c）cosB=bcosC 得到：
4RsinAcosB-2RsinCcosB=2RsinBcosC
消去2R，移项：
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA
cosB=1/2, B=π/3 A+C=2π/3
0<A<2π/3 0<A/2<π/3 π/6<A/2+π/6<π/2
1/2<sin(x/2+π/6)<1
1<sin(x/2+π/6)+1/2<3/2
f(A)=sin(A/2+π/6)+1/2
1<f(A)<3/2
即：f(A)的取值范围是（1,3/2)