线性代数:n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个()?

10题:n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个()?A,互不相同的特征值B,互不相同的特征向量C,线性无关的特征向量D,两两正交的特征向量... 10题:n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个()?
A,互不相同的特征值
B,互不相同的特征向量
C,线性无关的特征向量
D,两两正交的特征向量
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Dilraba学长
高粉答主

2020-07-14 · 听从你心 爱你所爱 无问西东
Dilraba学长
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n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量!

[证明] 充分性:已知A具有n个线性无关的特征向量X1,X2,……,则AXi=入iXi i=1,2,……,n

A[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]

=[X1 X2 ……Xn]*

X1,X2,Xn线性无关,故P=[X1 X2 Xn]为满秩矩阵,令V=*,则有AP=PV

V=AP/P

必要性:已知存在可逆方阵P,使

AP/P=V=*

将P写成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn为n维列向量

[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]

可见,入i为A的特征值,Pi为A的特征向量,

所以,A具有n个线性无关的特征向量。

扩展资料

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式,λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 (其中I是单位矩阵)有非零解v (一个特征向量),因此等价于行列式|A – λI|=0 。

函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式,因为行列式定义为一些乘积的和,这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵,则pA为n次多项式,因而A最多有n个特征值。 反过来,代数基本定理说这个方程刚好有n个根,如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根,因此对于奇数n,每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形,对于偶数或奇数的n,非实数特征值成共轭对出现。

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jjbabc4
2012-12-06 · 贡献了超过209个回答
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c
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百度网友c92221e2b
2012-12-06 · TA获得超过1932个赞
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