Question

已知：如图，BE垂直AC，CF垂直AB，垂足分别是点E，F，BE，CF交于点D，且BD=CD，求证：AD平分角BAC。

不能用全等

Answer 1

令直线AD的交BC于G。
∵BD⊥AC、CD⊥AB，∴D是△ABC的垂心，∴AG⊥BC。
∵BD＝CD，∴D在BC的中垂线上，而DG⊥BC，∴BG＝CG。
由AG⊥BC、BG＝CG，得：∠BAG＝∠CAG，∴AD平分∠BAC。

追问

由AG⊥BC、BG＝CG，得：∠BAG＝∠CAG 这个的原因是什么

追答

三角形一边上的高、中线合二为一时，该边所对角的平分线就与这条边上的高、中线合三为一。
即：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合。

追问

你如何知道它是等腰三角形呢？

追答

∵AG⊥BC、BG＝CG，∴AG是BC的中垂线，∴AB＝AC。
∴△ABC是以BC为底边的等腰三角形。