Question

函数f(x)对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)当x>0时f(x)<0,f(x)<0,f(1)=-2,求f(ax^2)-2f(x)<f(ax)+4

函数f(x)对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)当x>0时f(x)<0,f(x)<0,f(1)=2,求f(ax^2)-2f(x)<f(ax)+4

Answer 1

解：
令x=y=0
f(x+y)=f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x)
函数是奇函数。
x>0时，f(x)<0
设x1<x2，不妨令x2=x1+d (d>0)
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)=f(d) d>0 f(d)<0
f(x2)>f(x1)，函数在R上单调递减。
f(1)=-2 f(-1)=2 f(-2)=f[(-1)+(-1)]=f(-1)+f(-1)=2+2=4
2f(x)=f(x)+f(x)=f(2x) f(-2x)=-f(2x)=-2f(x)
f(ax²)-2f(x)<f(ax)+4
f(ax²)+f(-2x)<f(ax)+f(-2)
f(ax²-2x)<f(ax-2)
ax²-2x>ax-2
x(ax-2)-(ax-2)>0
(x-1)(ax-2)>0
分类讨论：
a>2时，x>1或x<2/a
a=2时，x≠1
0<a<2时，x>a/2或x<1
a=0时，(-2)(x-1)>0 x-1<0 x<1
a<0时，x>1或x<2/a