Question

设函数f(x)对于x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0,f(1)=－2

(1)说明函数f(x)是奇函数还是偶函数
（2）探究f(x)在【-3,3】上是否有最值？，若有，请求出最值，若没有，说明理由
(3)若f(x)的定义域是【-2,2】，解不等式：f(以2为底x的对数)+f(以4为底x∧-4的对数)＜2

Answer 1

1. f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1) 则-2=f(0)-2 f(0)=0
f(0)=f(x-X)=f(x)+f(-x) 所以f(x)+f(-x)=0 即f(-x)=-f(x) 所以函数为奇函数
2. 设x1>x2 且x1=kx2＞0,k>0
f(x1)-f(x2)=f(kx2)-f(x2)=f(k)+f(x2)-f(x2)=f(k)
又因为k>0 ,所以f(x1)-f(x2)<0，所以函数在x>0的时候递减，又因为是奇函数，所以在x<0时也是递减，所以当x=-3时，函数值最大，f(-3)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)=-3f(1)=6
3. F(log2x)+f(log4x-4)<2 即为 f(log2x)+f{(-4÷2) log2x}<2
则有(用性质将他们加起来) f(-log2x)<2
-F(log2x)<2 f(log2x)>-2 即为 f(log2x)>f(1 ) f(log2x)>f(log22)
因为函数为减函数，所以要求 log2x＜log22
还要满足-2≤log2x≤2 （定义域） 所以1/4≤X＜2

(ps:g旁边的2、、、4是底数 ，在电脑上编好的怎么复制到这里就不一样了 ，晕啊)

Answer 2

(1):
f(1)=f(0+1)=f(1)+f(0)则f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0即f(x)=-f(-x)
f(x)是奇函数
(2):
设x1>x2>0,k=(x1-x2)>0,
则f(x1)<0,f(x2)<0,f(k)<0,f(x1)=f(x2+k)=f(x2)+f(k),
故x1>x2>0,f(x1)<f(x2),且f(x)是奇函数
则x1<x2<0,f(x1)>f(x2)
故f（x）在[-3,3]有最大值f(-3)=f(-1-2)=f(-1)+f(-1-1)=-f(1)+f(-1)+f(-1)=6
最小值f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=-6
(3):
f(lg2(x))+f(lg4(x^-4))<2
f(lg2(x))+f(lg4(x^-4))-f(-1)<0
f(lg2(x))+f(lg4(x^-4))+f(1)<0
lg2(x)=lg4(x^2)
f(lg2(x))+f(lg4(x^-4))+f(1)=f(lg2(x)+lg4(x^-4)+1)<0
lg2(x)+lg4(x^-4)+1=lg4((x^2)*(x^-4)*4)=lg4(4x^-2)>0=lg4(1)
4x^(-2)>1即0<x^2<4
-2<x<2
且lg2(x)定义域x>0
则{x|0<x<2}

Answer 3

1）令x=0 y=0，则有f(0)=0 令y=-x则有f(0)=f(x)+f(-x)=0 所以是奇函数
2）不知道，
3）你题目什么意思？如果要做的话，可以根据单调性和奇偶性把f去掉