Question

已知函数f(x)满足f（x+y）=f(x)f(y),其中x,y∈R且f（1）等于1/2.

（1）若n∈N°时，求f（n）的表达式：
（2）设an=f（n）（n∈N°），求证：a1+a2+..+an＜1；
（3）设bn=nf(n+1)/f(n)，n∈N°，Sn=b1+b2+...+bn,求1/S1+1/S2+...+1/Sn。

Answer 1

1 f(x+y)=f(x)f(y)
令y=1
f(x+1)=f(x)*f(1)=f(x)/2,这是等比数列
f(n)=(1/2)^n
an=(1/2)^n
2 前n项和 a1+a2+..+an=1-(1/2)^n
因为(1/2)^n>0
所以a1+a2+..+an<1
3 bn=nf(n+1)/f(n)=n/2是等差数列
sn=n(n+1)/4
1/sn=4/n(n+1)=4[1/n-1/n+1]
1/S1+1/S2+...+1/Sn=4[1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/n+1]
=4[1-1/n+1]
=4n/(n+1)
不过我认为最后这个题目可能有点问题，估计是bn=nf(n)/f(n+1)，这样的话就没有4倍

Answer 2

(1)就是数列
f（1+1）=f(1)f(1)=1/4
f（2+1）=f(2)f(1)=1/8
～～～～
f（n）=f(n-1)f(1)=1/2*f(n-1)=1/2^n
(2)
等比级数
1/2+1/4+......=1-1/2^(n-1)<1
(3)
bn=n/2
所以
sn=1/2（1+2+3+4......）=(1+n)n/4
1/Sn=4/(n+1)n=4*(1/n - 1/(n+1))
级数和=4×（1-1/（n+1））