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已知函数F(x)=x^2+1(x≥0), =1(x<0), 则满足不等式f(1-x^2)>f(2x)的x的取值范围为?
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F(x)={x^2+1(x≥0),
{1(x<0),
F(x)是分段函数,在[0,+∞)上递增
在(-∞,0)上为常函数,值为1,且F(0)=1
是需用分成两类讨论:
不等式f(1-x^2)>f(2x)成立的情况有
(1)1-x²和2x都在增区间[0,+∞)内,则
{1-x²≥0, ①
{ 2x≥0 ②
{1-x²>2x ③
①==>x²-1≤0 ==> -1≤x≤1
②==> x≥0
③==> x²+2x-1<0 ==>-1-√2<x<-1+√2
①②③取交集:0≤x<√2-1
(2)1-x²在区间(0,+∞)内,2x在(-∞,0)内
此时,f(1-x²)=x²+1>1,f(2x)=1,不等式成立
∴{1-x²>0,且2x<0 解得 x<-1
【1-x²,和2x不能同处于(-∞,0),此时二者的函数值均为1】
综上所述,满足不等式的x的取值范围为
(-∞,-1)U[0,√2-1)
{1(x<0),
F(x)是分段函数,在[0,+∞)上递增
在(-∞,0)上为常函数,值为1,且F(0)=1
是需用分成两类讨论:
不等式f(1-x^2)>f(2x)成立的情况有
(1)1-x²和2x都在增区间[0,+∞)内,则
{1-x²≥0, ①
{ 2x≥0 ②
{1-x²>2x ③
①==>x²-1≤0 ==> -1≤x≤1
②==> x≥0
③==> x²+2x-1<0 ==>-1-√2<x<-1+√2
①②③取交集:0≤x<√2-1
(2)1-x²在区间(0,+∞)内,2x在(-∞,0)内
此时,f(1-x²)=x²+1>1,f(2x)=1,不等式成立
∴{1-x²>0,且2x<0 解得 x<-1
【1-x²,和2x不能同处于(-∞,0),此时二者的函数值均为1】
综上所述,满足不等式的x的取值范围为
(-∞,-1)U[0,√2-1)
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解:f(x)=x²+1>=1(x>=0)
若1-x²<0, 则f(1-x²)=1<=f(2x).
∴1-x²>=0得-1<=x<=1
当0<x<=1时, f(1-x²)=1-2x²+x^4+1 ,f(2x)=4x²+1∴1-2x²+x^4+1>4x²+1∴x<-根号2-1 或者,x>根号2+1 或者1-根号2<x<根号2-1 故0<x<根号2-1
当x=0时,f(1-x^2)=f(1)=2>f(2x)=1符合
当-1<=x<0时,f(1-x²)=1-2x²+x^4+1 ,f(2x)=1∴1-2x²+x^4+1>1∴x为任意实数.故-1<=x<0
综上,-1<=x<0根号2-1
若1-x²<0, 则f(1-x²)=1<=f(2x).
∴1-x²>=0得-1<=x<=1
当0<x<=1时, f(1-x²)=1-2x²+x^4+1 ,f(2x)=4x²+1∴1-2x²+x^4+1>4x²+1∴x<-根号2-1 或者,x>根号2+1 或者1-根号2<x<根号2-1 故0<x<根号2-1
当x=0时,f(1-x^2)=f(1)=2>f(2x)=1符合
当-1<=x<0时,f(1-x²)=1-2x²+x^4+1 ,f(2x)=1∴1-2x²+x^4+1>1∴x为任意实数.故-1<=x<0
综上,-1<=x<0根号2-1
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是的,分成1-x²>0和1-x²<0进行讨论,且x≥0
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