Question

已知函数F(x)=x＾2+1(x≥0), =1(x＜0), 则满足不等式f(1-x＾2)＞f(2x)的x的取值范围为?

答案上说由定义区间的限制可知1-x²＞0是怎么得到的,这样就只用分成两类讨论了,

Answer 1

F(x)=｛x＾2+1(x≥0),
｛1(x＜0),
F(x)是分段函数，在[0,+∞)上递增
在(-∞,0）上为常函数，值为1，且F(0)=1

是需用分成两类讨论：
不等式f(1-x＾2)＞f(2x)成立的情况有

(1）1-x²和2x都在增区间[0,+∞)内，则
{1-x²≥0, ①
{ 2x≥0 ②
{1-x²>2x ③
①==>x²-1≤0 ==> -1≤x≤1
②==> x≥0
③==> x²+2x-1<0 ==>-1-√2<x<-1+√2
①②③取交集：0≤x<√2-1

（2）1-x²在区间（0,+∞)内，2x在（-∞，0）内
此时，f(1-x²)=x²+1>1,f(2x)=1，不等式成立
∴｛1-x²>0，且2x<0 解得 x<-1

【1-x²,和2x不能同处于(-∞,0),此时二者的函数值均为1】

综上所述，满足不等式的x的取值范围为
（-∞，-1）U[0,√2-1)

Answer 2

解:f(x)=x²+1>=1(x>=0)
若1-x²<0, 则f(1-x²)=1<=f(2x).
∴1-x²>=0得-1<=x<=1
当0<x<=1时, f(1-x²)=1-2x²+x^4+1 ,f(2x)=4x²+1∴1-2x²+x^4+1>4x²+1∴x<-根号2-1 或者,x>根号2+1 或者1-根号2<x<根号2-1 故0<x<根号2-1
当x=0时,f(1-x＾2)=f(1)=2>f(2x)=1符合
当-1<=x<0时,f(1-x²)=1-2x²+x^4+1 ,f(2x)=1∴1-2x²+x^4+1>1∴x为任意实数.故-1<=x<0
综上,-1<=x<0根号2-1

Answer 3

是的，分成1-x²＞0和1-x²<0进行讨论，且x≥0