Question

线性代数题，第5题解题过程？

左边是题目，右边是答案





Answer 1

把alpha1, alpha2, alpha3作为列向量，构成矩阵A
则Ax=beta是一个非其次方程，方程的根就是线性表出的系数
Ax=beta有解的条件是r(A,beta)=r(A)
A=

1,a,1

1,1,2

1,1,b

det(A)=b +1+2a-1-2-ab=-ab +2a+b-2=-(a-1)(b-2)
a不等于1且b不等于2时，A可逆，Ax=beta有唯一解，线性表出唯一为x=A^(-1)beta
a=1,b不等于2时，增广矩阵为
1,1,1,2
1,1,2,3,
1,1,b,4
显然第二行减去第一行得到x3=1, 所以b=3才可能有解（说明a=1,b=2同时成立时无解）
此时解无限，可以得到beta=c alpha1 +（1-c） alpha2 + alpha3
当b=2时，增广矩阵为
1,a,1,2
1,1,2,3,
1,1,2,4
显然时矛盾方程无解
所以a=1,b=3有无穷多解，beta=c alpha1 （1-c） alpha2 + alpha3
或者a不等于1且b不等于2，得到表出系数x = A^(-1)beta
你的答案少了第二个解

Answer 2

β = x1α1 + x2α2 + x3α3 = (α1 , α2 , α3)x = Ax，其中 x = (x1 , x2 , x3)^T.
故 Ax = β 有解. 若 Ax = β 有唯一解，只能求出 a， b 的取值范围。
题目要求a， b 的值，不是取值范围，
则“表示法不唯一”应是“并且”的条件。此时 Ax = β 有无穷多解。
则 r(A, β) = r(A) < 3 .
(A, β) =
[1 a 1 2]
[1 1 2 3]
[1 1 b 4]
初等行变换为
[1 a 1 2]
[0 1-a 1 1]
[0 1-a b-1 2]
初等行变换为
[1 a 1 2]
[0 1-a 1 1]
[0 0 b-2 1]
r(A, β) = r(A) < 3， 只有 1-a = 0， b-2= 1，
得 a = 1， b = 3。 此时增广矩阵 (A, β) 初等行变换为
[1 1 0 1]
[0 0 1 1]
[0 0 0 0]
方程组化为
x1 = 1 - x2
x3 = 1
取 x2 = 0 得特解 (1, 0, 1)^T;
导出组
x1 = - x2
x3 = 0
取 x2 = 1 得 Ax = 0 的基础解系 (1, -1, 0)^T，
通解是 x = t (1, -1, 0)^T + (1, 0, 1)^T，
β = (1+t)α1 - tα2 + α3