Question

已知a,b∈R+,函数f(x)=a^(x+1)+b^(x+1)/a^x+b^x(x∈R+)

函数f(x)=(a^x+1+b^x+1)/(a^x+b^x),若a,b属于R+,
（1）试判断函数f(x)的单调性.并证明
（2）比较(a^2+b^2)/(a+b)与根号下ab的大小

Answer 1

1.
设0<x1<x2，不妨令x2=x1+d (d>0)
f(x2)-f(x1)
=[a^(x2+1)+b^(x2+1)]/(a^x2 +b^x2) -[a^(x1+1)+b^(x1+1)]/(a^x1+b^x1)
={[a^(x2+1)+b^(x2+1)](a^x1+b^x1)-[a^(x1+1)+b^(x1+1)](a^x2+b^x2)}/[(a^x2+b^x2)(a^x1+b^x1)]
=[a^(x2+1)b^(x1)+a^x1b^(x2+1)- a^(x1+1)b^x2-a^x2b^(x1+1)]/[(a^x2+b^x2)(a^x1+b^x1)]
=[a^x2b^x1(a-b)-a^x1b^x2(a-b)]/[(a^x2+b^x2)(a^x1+b^x1)]
=(a-b)a^x1b^x1(a^d -b^d)/[(a^x2+b^x2)(a^x1+b^x1)]
a-b与a^d-b^d同号，a=b时，上式=0，f(x2)=f(x1)，函数为常函数，不增不减（题目有点问题，应该规定a≠b）
a≠b时，上式>0 f(x2)>f(x1)，函数是单调递增函数。
2.
(a²+b²)²/(a+b)²-ab
=[(a²+b²)²-ab(a+b)²]/(a+b)²
={[(a+b)²-2ab]²-ab(a+b)²}/(a+b)²
=[(a+b)⁴-5ab(a+b)²+4a²b²]/(a+b)²
=[(a+b)²-ab][(a+b)²-4ab]/(a+b)²
=(a²+ab+b²)(a²-2ab+b²)/(a+b)²
=[(a+ b/2)²+3b²/4](a-b)²/(a+b)²
(a+b/2)²+3b²/4恒>0 (a+b)²恒>0 a-b≥0
(a²+b²)²/(a+b)²≥ab
(a²+b²)/(a+b)≥√(ab) 当且仅当a=b时取等号。