Question

已知点p是三角形ABC所在平面a外的一点，点O是点p在平面a上的射影。

（1）若点p到三角形的三边距离相等，点O在三角形ABC内，则点O是三角形ABC的什么心？（答案是：内心）
(2)若点p到三角形ABC的三个顶点距离相等，则点O是三角形ABC的什么心？（答案是外心）麻烦老师给出其中细节，最好能配合图形。谢谢。

Answer 1

解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心；

若P到△ABC三个顶点的距离相等，由由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心。