Question

验证n阶对称阵,对矩阵加法及矩阵的数乘构成数域R上的线性空间

Answer 1

因为矩阵的加法运算满足交换,结合,有零矩阵,有负矩阵
矩阵的数乘运算也满足相应的4条运算性质
所以若证明n阶对称阵对矩阵加法及矩阵的数乘构成数域R上的线性空间,
只需证明n阶对称阵对矩阵加法及矩阵的数乘运算封闭就可以了.
设A,B为n阶对称矩阵,即有 A' = A,B' = B,k是一实数,则由
(A+B)' = A' +B' = A+B
(kA)' = kA' = kA
所以 A+B,kA 也是对称矩阵
即 n阶对称阵对矩阵加法及矩阵的数乘运算封闭
所以n阶对称阵对矩阵加法及矩阵的数乘构成数域R上的线性空间.
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