Question

如图，在直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为直径的⊙C与AB交于点D，

DE与⊙C相切交x轴于点E，且 OA=12
3
cm，∠OAB=30°．（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）过点B作BG⊥EC于 F，交x轴于点G，求BD的长及点F的坐标；
（3）设点P从点A开始沿A→B→G的方向以4cm/s的速度匀速向点G移动，点Q同时从点A开始沿AG匀速向点G移动，当四边形CBPQ为平行四边形时，求点Q的移动速度．

Answer 1

　　解：（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=123，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=12，AB=24．
∴B（0，12），
∵OA=12
3，
∴A （12
3，0）．
可设直线AB的解析式为：y=ax+b，
∴b=1212
3a+b=0​，
∴a=-
33b=12​，
∴可得直线AB的解析式为：y=-
33x+12．
（2）连接CD，过F作FM⊥x轴于点M，则CB=CD．
∵∠OBA=90°-∠A=60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴BD=CB=12OB=6，
∠BCD=60°，∠OCD=120°．
∵OB是直径，OA⊥OB，
∴OA切⊙C于O．
∵DE切⊙C于D，
∴∠COE=∠CDE=90°，∠OEC=∠DEC．
∴∠OED=360°-∠COE-∠CDE-∠OCD=60°．
∴∠OEC=∠DEC=30°．
∴CE=12，CO=6．
∴在Rt△COE中，由勾股定理OE=CE2-CO2=6
3．
∵BG⊥EC于F，
∴∠GFE=90°．
∵∠GBO+∠BGO=∠OEC+∠BGO，
∴∠GBO=∠OEC=30°．
故可得FC=12BC=3，EF=FC+CE=15，
FM=12EF=152，ME=3FM=15
32．
∴MO=15
32-6
3=
3
32．
∴F（-
3
32，152）．

（3）设点Q移动的速度为vcm/s．
（ⅰ）当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQ∥BC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形，点Q与点E重合．
可得AP=12， t=AP4=3．
∴v=
AEt=
6
33=2
3（cm/s）．
（ⅱ） 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，
PQ∥BC，PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形．
可得OG=4
3，BG=8
3．从而PB=4
3，OQ=2
3．
∴t=
AB+BP4=
24+4
34=6+
3．
∴v=
AQt=
12
3+2
36+
3=
28
3-1411（cm/s）．
∴点Q的速度为2
3cm/s或28
3-1411cm/s．

Answer 2

解：（1）由OA⊥OB，∠OAB=30°，OA=123，可得AB=2OB．
在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=41√3，AB=82√3．
∴B（0，41√3），
∵OA=123，
∴A （12
3，0）．
可设直线AB的解析式为：y=ax+b，
∴b=41√3
123a+b=0​，
∴a=-√3/3
∴可得直线AB的解析式为：y=-√3/3x+41√3．