Question

有理分式的拆解技巧

Answer 1

相信大家都不会陌生，经常遇见含有这些分式的积分类型
现在说说有哪些技巧可以简单应付

一个真分式， 分子的次数 < 分母的次数
我们把一个真分式拆解为几个小分式，通常第一步会先把分母进行因式分解，然后按照那个因式分裂为小分式

对于小分式， 分子的次数 总会 比分母的次数少1次方 ： deg(分子) = deg(分母) - 1
例如分母是二阶ax^2+bx+c，则分子为Ax+B
若分母是一阶ax+b，则分子为常数A

不过，对于 高阶极点 来说， 小分式的个数 = 分母的 因式个数
例如(x + 5)^3，因式为(x + 5)^3，(x + 5)^2，(x + 5)，共三个因式
(x ²⁺⁴⁾ 4，因式为(x ²⁺⁴⁾ 4，(x ²⁺⁴⁾ 3，(x ²⁺⁴⁾ 2，(x^2+4)，共四个因式

常用的方法无非都是那几种：
添项减项法：这个方法对1/[(x+a)(x+b)]型有效
待定系数法：即小分式通分后，把分子与原式的分子恒等，从而解出对应系数
留数法：即通过消去零因式来解出系数，分母要求为线性(ax+b)型因式，可以是高阶极点
这个方法其实跟z变换类似

添项减项法 和 待定系数法：

留数法：

留数法对于一次因式，一阶极点的因式时最好用的
例如：

而待定系数法，则需要对联立多元方程有很好的运算技巧
通常对于二次或以上的因式最好用
例如：

下面是练习，你们可以试试：

如果 分子的次数 ≥ 分母的次数 ，这是假分式，设法自然会有些改变

这个可依旧运用待定系数法：

或者多项式除法：