Question

3阶矩阵A有特征值±1和2，证明B=(E+A*)²能够对角化，并求B的相似矩阵

Answer 1

因为A有三个不同特征值±1和2
所以存在可逆阵P和对角阵D
使P^-1AP=D=diag{-1,1,2}
所以A=PDP-1
A*=|A|A^-1=-2(PD^-1P^-1)
所以B=(E+A*)²
=[P(E - 2D^-1)P^-1]^2
=P(E - 2D^-1)^2 P^-1
其中(E - 2D^-1)^2=diag{1 - 2/(-1),1 - 2/1,1 - 2/2}=diag{-1,3,0}
所以B能对角化，B相似于diag{-1,3,0}

追问

可答案上B的相似对角矩阵是diag{9,1,0}

追答

不好意思，忘记平方了。
(E - 2D^-1)^2=diag{(1 - 2/(-1))^2,(1 - 2/1)^2,(1 - 2/2)^2}=diag{1,9,0}