Question

（2009•梅州）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F

（2009•梅州）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．（1）BE能否与⊙O相切（若能，写出此时DE的长；若不能，填不能即刻）．

Answer 1

∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．

Answer 2

①过E作EH⊥AB于点H，则EF=AD=3，AF=DE=1/2，AB=5/2，故tan∠EAB=EF/AF=3/（5/2）=6/5 ，②法一：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCE，又CE=DE，∴△ADE≌△BCE，AE=BE，∠EAB=∠EBA．连接OF，OF=OA，∴∠OAF=∠OFA∠OFA=∠EBA．∴OF∥EB．∵FG⊥BE，∴FG是⊙O的切线．（2）法一：假设BE能与⊙O相切．
∵AE是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，则∠DEA+∠BEC=90°．
又∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠DEA=∠EBC，
∴Rt△ADE∽Rt△CEB，∴AD/ EC=DE/BC 设DE=x，则EC=5-x，AD=BC=3，得3/（5-x )=x/3 整理得x2-5x+9=0．
∵b2-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．
法二：若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB=90°．
设DE=x，则EC=5-x．
由勾股定理得：AE2+EB2=AB2，
即（9+x2）+[（5-x）2+9]=25，
整理得x2-5x+9=0，
∵b2-4ac=25-36=-11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，BE不能与⊙O相切．

Answer 3

方法一：解：连接OF
在矩形ABCD中
AD=BC，∠ADE=∠C=90°，又CE=DE，
∴△ADE≌△BCE，
∴AE=BE，∠EAB=∠EBA，
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，∠OFA=∠EBA，
∴OF∥EB，
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线；
方法二：提示：连EF，DF，证四边形DFBE是平行四边形．

Answer 4

Answer 5