Question

一道高数题追加50分求助

求解答案红色波浪线部分怎么来的呢

Answer 1

理解本题应当从函数的连续性和导数的定义入手。如图，由于函数连续，可知当x趋向于1时，两点之间没有断点，又因为无限趋近，所以可以看成直线，由于导数的本质就是斜率，所以用端点f(1）的导数作为直线的斜率。当然，这里的斜率不一定为正的，但是不影响最后结果的形式。

实际上就是泰勒一阶展开的原理

追问

1和2相减，为什么还有o(x4)呢

Answer 2

x→0 时， cosx-1 → 0， f(cosx) = f[1+(cosx-1)] 泰勒展开

= f(1) + f'(1) (cosx-1) + f''(1)(cosx-1)^2/2! + ......
因 cosx -1 ~ -x^2/2, 则 (cosx-1)^2 ~ x^4/4
f(cosx) = f[1+(cosx-1)] = f(1) + f'(1) (cosx-1) +o(x^4)

追问

1和2相减，为什么还有o(x4)呢

追答

o(x^4) 不是具体数值， 表示高阶无穷小，
因此 o(x^4) - o(x^4) 不是 0， 还是 o(x^4)。

Answer 3

泰勒公式，在u=1 展开
f(u) = f(1) + f'(u) .(u-1) +o(u-1)
u=cosx
f(cosx) = f(1) + f'(cosx) .(cosx-1) +o(x^2)

追问

1和2相减，为什么还有o(x4)呢

追答

(1) -(2)
直接带入即可
因(2) 式 是o(x^4) ，(1) -(2) ， o(x^4)

Answer 4

当x→0时，视“cosx-1”为△x，将f(cosx)在x=0即cosx=1处，泰勒展开式即可。

追问

1和2相减，为什么还有o(x4)呢