Question

xarcsinxdx的不定积分是什么?

Answer 1

xarcsinxdx的不定积分是(x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C。推导过程如下：

∫ xarcsinx dx

= ∫ arcsinx d(x²/2)

= (x²/2)(arcsinx) - (1/2)∫ x²*(arcsinx)' dx

= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ x²/√(1-x²) dx

令x=siny，dx=cosydy

= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ sin²y/cosy * cosydy

= (x²arcsinx)/2 - (1/4)∫ (1-cos2y) dy

= (x²arcsinx)/2 - (1/4)(y-1/2*sin2y) + C

= (x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。