Question

y=xlnx的n阶导数是什么?

Answer 1

分情况：

y'=lnx+1

y''=x^(-1)

y'''=-x^(-2)

y''''=2x^(-3)

y(n)=(-1)^n*(n-2)!*x^(1-n)

所以当n=1时，y(n)=lnx+1

当n>=2时，y(n)=(-1)^n*(n-2)!*x^(1-n)

常见n阶导数

1、幂函数常见形式是y=x^n，它的n阶导数是n!. n为正整数，而对任何比n小的正整数m，幂函数y=x^m的n阶导数都等于0，包括常数函数的一阶的导数等于0，所以n阶导数也等于0。

对特殊的幂函数y=1/x， 它的n阶导数是(-1)^n×(n!)/x^(n+1); y=1/(1+x)的n阶导数类似的为(-1)^n×(n!)/(1+x)^(n+1)；而y=1/(1-x)的n阶导数就会有所变化，它的n阶导数是(n!)/(1-x)^(n+1)。

2、对数函数最常见的形式是y=lnx， 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数，这是因为lnx的一阶导数就是1/x，所以y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)*((n-1)!)/x^n。