Question

特征值与行列式的关系是什么?

Answer 1

如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的当然就是运动的速度和方向，那么特征值就是运动的速度；特征向量就是运动的方向。

行列式没有特征值，行列式对应的矩阵有特征值。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

性质

1、行列式A中某行（或列）用同一数k乘，其结果等于kA。行列式A等于其转置行列式AT（AT的第i行为A的第i列）。

2、若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

3、设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

Answer 2

特征值与行列式的关系可以通过以下公式表示：det(A-λI) = 0其中，det表示矩阵的行列式，A是n阶矩阵，λ是标量，I是n阶单位矩阵。这个公式表示了矩阵A的特征值λ是矩阵A-λI的行列式为0时的根。具体来说，如果我们找到矩阵A-λI的行列式的根，那么这些根就是矩阵A的特征值。因此，矩阵的特征值可以通过求解矩阵的行列式来得到。此外，特征值还有其他重要作用，例如它可以帮助我们确定矩阵的特定性质和解决一些重要的应用问题，如线性方程组、线性变换和谱分析等。