Question

如图，AB是⊙o的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点D作⊙o的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC。

（1）线段OD与BC有什么数量关系和位置关系，并证明你的结论。
（2）求证PC是⊙o的切线。

Answer 1

1、OD∥BC，BC＝2OD
证明：
∵直径AB
∴∠ACB＝90
∵OD⊥AC
∴∠ADO＝90，AD＝CD（垂径分弦）
∴∠ACB＝∠ADO
∴OD∥BC
∴OD是△ABC的中位线
∴BC＝2OD
2、证明：连接OC
∵PA是圆O的切线
∴∠OAP＝90
∵OD⊥AC
∴OP垂直平分AC（垂径分弦）
∴AP＝CP
∵OA＝OC，OP＝OP
∴△APO≌△CPO （SSS）
∴∠OCP＝∠OAP＝90
∴PC是圆O的切线

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Answer 2

∥BC，OD=
12
BC．
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD=
12
BC

（2）证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E．
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴
AE
=
CE
，即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中，
∵OA=OC，OP=OP，
∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
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