Question

1）y的二阶导数+y=x 2）y的二阶导数+y=sinx

1）y的二阶导数+y=x
2）y的二阶导数+y=sinx
3）y的二阶导数+y的一阶导数+6y=x乘e的2x次幂 和
y的二阶导数-2y的一阶导数-3y=3x+1
这两道题中 为什么用微分算子法求解出的特解是一部分 如果求解特解如何算
都是求通解的 高等数学方面的知识 希望大家帮帮忙

Answer 1

微分算子法求出仅是一个解，即特解，需加上齐次通解

y''+y=0 齐次通解y=C1cosx+C2sinx

1) 特解为 x y=C1cosx+C2sinx+x

2) 特解为 -xcos(x)/2 y=C1cosx+C2sinx-xcos(x)/2
3)y''+y'+6y=0 齐次通解为y=exp(-x/2) [c1 cos(√(23) x/2)+c2 sin(√(23) x/2)]

特解可用待定系数法或微分算子法
本例中 可使用 y*=(Ax+B)e^(2x) 1/144*(-5+12*x)*exp(2*x)
y*''+y*'+6y*= *(5A+12B+12Ax)e^(2x)=xe^(2x) 得 A=1/12 B=-5/144
y*=(12-5x)e^(2x)/144

通解为y=exp(-x/2) [c1 cos(√(23) x/2)+c2 sin(√(23) x/2)]+(12-5x)e^(2x)/144

4) y''-2y'-3y=0 齐次通解为y=C1e^(3x)+c2e^(-x)

特解可用待定系数法 设y*=Ax+B

y*''-2y*'-3y=-2A-3B-3Ax=3x+1 得 A=-1 B=1/3
特解为y*=-x+1/3

通解为y=C1e^(3x)+c2e^(-x)-x+1/3

上述所有C1,C2 均为任意常数