Question

若函数f(x)=2^(2x)+(2^x)a+a+1存在零点，则实数a的取值范围是？ 求详解，别复制

Answer 1

令t=2^x，则t>0为正数
存在零点，则f=t^2+at+a+1=0有正根
所以有：a=-(t^2+1)/(t+1)
令p=t+1>1
则a=-[(p-1)^2+1]/p=-(p-2+2/p)=-(p+2/p)+2
因为p>1, 故由均值不等式，p+2/p>=2√(p*2/p)=2√2, 当p=2/p时，即p=√2时取等号
所以有：a<=-2√2+2

Answer 2

设2^x=t 则有f(x)=t^2+at+a+1(t>0)
对称轴x=-a/2
函数有零点, △ ≥0,
a^2-4a-4 ≥0
a ≥2+2√2 或者 a≤2- 2√2
当对称轴在y轴左边,-a/2<0 ,a>0,t=0时，f(x)≤0
a+1≤0 a≤-1,a ≥2+2√2 (不合题意)
当对称轴在y轴右边，a<0,有零点
a的取值范围为a≤2-2√2

Answer 3

f(x)=(2^x)²+(2^x)a+a+1
(2^x)=y
y²+ay+a+1=0
判别式a²-4(a+1)≥0
a²-4a-4≥0
(a-2-√2)(a-2+√2)≥0
a≤2-√2 a≥2+√2

Answer 4

就是以2^x为未知数的二次方程
a^2-4(a+1)>=0
a^2-4a+4-8>=0
(a-2)^2-8>=0
|a-2|>=2*2^(1/2)