Question

一道不定积分题，见图片，第5题

是第一大题的第五题。

Answer 1

∫ x²arcsinx dx
=(1/3)∫ arcsinx d(x³)
分部积分
=(1/3)x³arcsinx - (1/3)∫ x³/√(1-x²) dx
=(1/3)x³arcsinx - (1/6)∫ x²/√(1-x²) d(x²)
令√(1-x²)=u，则x²=1-u²，d(x²)=-2udu
=(1/3)x³arcsinx - (1/6)∫ [(1-u²)/u](-2u) du
=(1/3)x³arcsinx + (1/3)∫ (1-u²) du
=(1/3)x³arcsinx + (1/3)u - (1/9)u³ + C
=(1/3)x³arcsinx + (1/3)√(1-x²) - (1/9)(1-x²)^(3/2) + C

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追问

不好意思，是第一大题的第5题（填空）。

追答

F(x)=f(x)(1+x²)
两边求导得：F'(x)=f '(x)(1+x²)+2xf(x)
即：f(x)=f '(x)(1+x²)+2xf(x)
因此：(1-2x)f(x)=(1+x²)[df(x)/dx]
分离变量：df(x)/f(x)=(1-2x)/(1+x²)dx
两边积分得：f(x)=arctanx-ln(x²+1)+lnC
则：f(x)=Ce^(arctanx)/(1+x²)

将x=0代入得：f(0)=C，再代入F(x)=f(x)(1+x²)得：f(0)=F(0)
因此解得：C=F(0)

则：f(x)=F(0)e^(arctanx)/(1+x²)