Question

设fn(x)=x+x^2+x^3+...+x^n,证明方程fn(x)=1有唯一正根

Answer 1

由fn(x)=x+x^2+x^3+...+x^n, 得n为自然数
上式对x求导, 得
fn(x)'=1+2x+3x^2+...nx^(n-1)
当x>0时,
fn(x)'>0, 即fn(x)为单调增函数, 根据单调增函数定义知fn(x)为连续函数

当
x=0时, fn(x)=0
x>=1时, fn(x)>=1

所以在x>0区间, 必然存在x, 且只存在一个x, 使得fn(x)=1成立,

Answer 2

fn'(x)=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
x>0时 fn'(x)>0 fn(x)为增函数
fn(0)=0 fn(1)=n (n>=1)
∴fn(x)有唯一正根且在(0,1]上