Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根（1）求f（x）的解析式

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0，a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．（3）是否存在实数m和n（m＜n ），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值

Answer 1

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1 x）∴f（x）的对称轴为x=1即-
b
2a
=1即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根∴ax2 bx=x即ax2 （b-1）x=0有等根0，
∴b=1，a=-
1
2

∴f(x)=-
1
2
x2 x
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x m的图象上方，
即-
1
2
x2 x＞2x m在区间[-1，1]上恒成立
 即x2 2x 2m＜0在区间[-1，1]上恒成立故有
1-2 2m≤0
1 2 2m≤0
解得m≤-
3
2

 即当m≤-
3
2
时，在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x m的图象上方
（3）f(x)=-
1
2
x2 x=-
1
2
(x-1) 2
1
2
≤
1
2

   故3n≤
1
2
，故m＜n≤
1
6

  又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有
f(m)=3m
f(n)=3n

  解得
m=0或m=-4
n=0或n=-4
，又m＜n，故m=-4，n=0

追问

为什么）∵f（1-x）=f（1 x）∴f（x）的对称轴为x=1 ？

追答

因为一般式是使1－x＝0.这个你应该懂吧？

追问

额 和f（1-x）=f（1+x）的f（1+x）无关吗 要是f（1+x）的话对称轴不是-1了？

追答

你是几年的？你要是高中的那很好懂啊。分析：由f（1-x）=f（1 x），得函数的对称轴为x=1，又方程f（x）=x有两相等实根，即ax2 （b-1）x=0有两相等实根，利用△=0可得关于a，b的方程，由此可求出a，b的值．
区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x m的图象上方，转化成二次函数在区间[-1，1]上恒为正，借助二次函数的性质转化即可求参数．
主要是借助函数的单调性确定出函数在[m，n]上的单调性，找到区间中那个自变量的函数值是3m，3n，由此建立方程求解，这样懂了么？

Answer 2

二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0，a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x）,可知,f(x)关于x=1对称,即f(x)与x轴的交点为(0,0),(2,0);把(2,0)代入可得2a+b=0;
f（x）=x,化简后为ax^2+(b-1)x=0.又知有两相等实根,即可得b=1;所以a=-1/2;
即f(x)=-1/2x^2+x;
f'(x)=-x+1当f'(x)=2时,x=-1;即当x=-1时,f(x)的切线斜率为2;当x=-1时,f(x)=-3/2;所以经过(-1,-3/2)且斜率为2的一次函数式为g(x)=-x-1/2,当x=0时,g(x)=-1/2;区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,则只须m<-1/2即可

假设存在实数m和n（m＜n ）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n],设m＜n<=1;
则有f(m)=3m,f(n)=3n;解得m1=0;m2=-4;n1=0;n2=-4,都小于1满足条件,即当m=-4,n=0时.满足条件.

Answer 3

二次函数f（x）=ax^2+bx满足f（1-x）=f（1+x）
说明二次函数的对称轴为x=1
即 f（x）=ax^2+bx=a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)
得 -b/2a=1 即 b=-2a
方程f（x）=x有两相等实根，得ax^2+bx=x
x=(1-b)/a=0 即 b=1 a=-1/2
(1) 二次函数解析式f(x)=-1/2x^2+x
(2) 在区间[-1，1]上，f(x)为单调增
当x=-1时 f(x)-y>0
-1/2x^2-1-2x-m>0 将x=-1代入，得
-1/2-1+2-m>0 即m<1/2
当x=1时 f(x)-y>0
-1/2x^2+x-2x-m>0 将x=1代入，得
-1/2+1-2-m>0 即m<-3/2
实数m的范围：m<-3/2
(3) 使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]
f(m)=3m 3=-1/2m+1 m=-4
f(n)=3n