Question

已知函数f(x)=ex g(x)=㏑x/2+1/2 .对任意a∈R,存在b∈(0,+∞)使f(a)=g(b),则b-a的最小值

Answer 1

注意：原题应为“f(x)=e^x，g(x)=ln(x/2+1/2)”,其余同上
分析：对于两个不同函数，在其因变量（函数值）相等的条件下讨论其自变量差的取值，可以通过反函数作对称处理，将问题等价转化为：对于两个不同函数（反函数），在其自变量相等的条件下其因变量（函数值）差的取值

因f(x)=e^x定义域为R，值域为R+
则其反函数为f^-1(x)=lnx，定义域为R+，值域为R
又g(x)=ln(x/2)+1/2定义域为R+，值域为R
则其反函数为g^-1(x)=2e^(x-1/2)，定义域为R，值域为R+

令F(x)=g^-1(x)-f^-1(x)=2e^(x-1/2)-lnx（定义域为R+）
则F'(x)=2e^(x-1/2)-1/x
令F'(x)=0，即2e^(x-1/2)-1/x=0，显然x=1/2
当0<x<1/2时
因2/√e<2e^(x-1/2)<2，而1/x>2
则F'(x)<0，表明该区间上F(x)递减
当x>1/2时
因2e^(x-1/2)>2，而1/x<2
则F'(x)>0，表明该区间上F(x)递增
于是x=1/2为F(x)的最小值点
所以Fmin=2+ln2

综上，对任意a属于R存在b属于R+使f(a)=g(b)，则b-a的最小值为2+ln2

Answer 2

问题不太明确,ex是什么意思?是e的x次方还是e乘以x?lnx/2呢?是ln(x/2)呢还是(lnx)/2?