Question

已知实数x,y满足x^2+y^2=1,则x+y+xy的最大值和最小值的和是

Answer 1

x^2+y^2=1,x,y均为实数,求x+y+xy的最小值
x=sina y=cosa，
sina+cosa =√2·sin（a+π／4）=t,t∈[-√2,√2],
sinacosa=[(sina+cosa)²-1]/2=(t²-1)／2
f=x+y+xy=sina+cosa+sinacosa=t+(t²-1)／2=(t+1)²／2-1
t=√2,最大值fmax=√2+1/2
t=-1,最小值fmin=-1
所以，则x+y+xy的最大值和最小值的和是：√2-1/2

愿对你有所帮助！

Answer 2

一方面可以用拉格朗日函数法，一方面可以用“可交换函数”法！
若，设f(x,y)=x+y+xy，则f(y,x)=y+x+yx=f(x,y)，此函数为可交换函数，其极值与
f(z)=2z+z^2(x=y=z)的极值相等，当x=y，又x^2+y^2=1，解得x=y=z=√2/2或-√2/2。
代入f(z)得，maxf(z)=1/2+√2,minf(z)=1/2-√2
那么两者的和是1，故原题目的解也是1。