Question

矩形ABCD内接于圆O，将△ADC沿AC翻折，点D落在圆上的点E，连BE，PA是圆的切线交CB的延长线于点P

矩形ABCD内接于圆O，将△ADC沿AC翻折，点D落在圆上的点E，连BE，PA是圆的切线交CB的延长线于点P切点为A，若圆的直径为5，AB/PB=3/4，动点M从点P出发，以2cm/s的速度沿PC运动，以点M为圆心，PM长为半径作圆，设运动时间为ts,（1）当运动时间为多少时，圆M与EB相切。（2）根据圆M与线段AC公共点个数，写出相应时间的值和取值范围

Answer 1

ABCD为矩形,因此AC为直径,AC=5
∴AB⊥PC
∵AB/PB=3/4
∴AB/AP=3/5
∵AP为切线
∴AC⊥AP
∴△BCA∽△ACP
∴BC/AC=AB/AP=3/5,BC/AB=AB/BP,∠BAC=∠APC
∴BC=3,AB=4,BP=16/3,AP=25/3
延长BE交AP于K
∵AE=BC
∴∠ABE=∠BAC=∠APC
∴∠AKB=∠ABP=90
∴BK⊥AP
∴AB×BP=AP×BK
∴BK=16/5,KP=64/15
过M作MN⊥BE交BE于N
∴MN∥AP
设MN=PM=2t
BM=16/3-2t
∵BM/BP=MN/KP
∴MN=64/27,t=32/27s
第二问给出结果吧,计算自己算
t∈[0,50/27)∪(25/12,＋∞)时,没有交点
t=50/27时,一个交点
t∈(50/27,25/12],两个交点

Answer 2

（1）由已知条件可知
△ABP、△CAP是相似直角三角形，边长比3：4：5
已经AC=5，所以AP=4/3AC=20/3，PC=5/3AC=25/3；所以AB=3/5AP=4，PB=4/5AC=16/3
延长BE交AP于点F，△BFP相似△ABP，所以PF=4/5PB=64/15
圆M与EB相切时设半径为x，切点为G，则PM=GM=x，△BMG相似△BPF，故有BM/BP=MG/PF，
即（16/3-x）/（16/3）=x/（64/15），解得x=64/27；如果以上长度单位均是cm，则可求出时间为（64/27）/2=32/27s。
（2）随着点M的运动，交点个数有四种情况：
①圆M与线段AC相切前，个数为0；②圆M与AC相切，个数为1；③圆M与AC相交，个数为2；④圆M包含线段AC，个数为0。
临界状态有两个：相切时，与（1）的情况类似，设切点为H，半径为R1，有CM/CP=MH/AP，即(25/3-R1)/(25/3)=R1/(20/3)，解得R1=100/27，所需时间是50/27s；圆M刚好交AC于A、C两点，则由PC为直径可知PM=1/2PC=25/3，所需时间是25/6s。
综上所述，①交点个数是0时，时间范围是0≤t＜50/27s或t＞25/6s；②交点个数是1时，t=50/27s；
③交点个数是2时，时间范围是50/27s＜t≤25/6s。