如图,抛物线y=x²-2x-3与x轴交A,B两点(A点在B点左侧)
2012-12-23
解:(1)令y=0,解得x1=-1或x2=3
∴A(-1,0)B(3,0)
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C(2,-3)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1)
E(x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-12)2+94,
∴当x=
12时,PE的最大值=94;
(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+7,0),F4(4-7,0).
①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+7,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+7,0);
④如图,同③可求出F的坐标为(4-7,0).
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
设C(2,y0) 代入y=x²-2x-3:y0=4-4-3=-3 C(2, -3)
设G(x0,-3) 代入y=x²-2x-3:-3=x0^2-2x0-3 x0=0 x0=2(舍去) G(0, -3)
过AG的直线方程:y=-3x-3
过CF的直线方程:y=-3(x-2)-3 即 y=-3x+3
y=-3x+3 与 y=0联立求得F点的坐标:F(1,0)