设A,B都是n阶正交矩阵,且|AB|<0,证明:|A+B|=0
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证: 因为 正交矩阵的行列式是 正负1
再由 |AB|<0 知 |A|,|B| 必一正一负, 即有 |A||B|=-1.
所以 -|A+B|
= |A||A+B||B|
= |A(A+B)B|
= |AAB+ABB|
= |B+A|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
所以 |A+B| = 0.
再由 |AB|<0 知 |A|,|B| 必一正一负, 即有 |A||B|=-1.
所以 -|A+B|
= |A||A+B||B|
= |A(A+B)B|
= |AAB+ABB|
= |B+A|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
所以 |A+B| = 0.
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