Question

证明∫[a,b]f(x)g(x)dx=f(ζ)∫[a,b]g(x)dx

Answer 1

这是关于积分的第一中值定理：完整叙述为：若函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间[a,b]内不变号，则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b)，使得：

一般数学分析教材都有详细证明。证明思路：不妨设g(x)>0,首先利用闭区间上连续函数的最值定理得到不等式，

然后利用定积分的估值定理得到不等式

 

最后应用积分中值定理得到问题的结论