Question

设P是双曲线x^2/a^2-y^2/9=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x+2y=0

设P是双曲线x^2/a^2-y^2/9=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0 F1,F2分别是双曲线的左右焦点，若|PF1|=5,则|PF2|=________
解
双曲线x^2/a^2-y^2/9=1(a>0)判断b=3
判断焦点在x轴上，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0，
y=（-3/2）x=（-b/a）x
判断a=2
双曲线为x^2/4-y^2/9=1(a>0)
F1,F2分别是双曲线的左右焦点，根据双曲线定义，|PF1|-|PF2|=2a或-2a，
若|PF1|=5,则|PF2|=9或1
其中1要舍掉，但此题解法是使用了双曲线的定义，为什么会出现增根
解释清楚定有重谢
我知道为什么舍掉1，但为什么用定义做题会出现一个增根

Answer 1

解答：
前面的过程很好。
双曲线方程是x²/4-y²/9=1
∴ |x|≥2，e=√13/2
∴ 利用焦半径公式
若P在右支上
|PF2|=ex-a=(√13/2)*x-2≥(√13/2)*2-2=√13-2>1
即PF2的最小值为√13-2
∴ 要舍掉|PF1|=1

追问

但是，为什么用双曲线定义做题会多出来一个根

追答

因为不全面啊。双曲线上的三个点还得满足三角形的性质，两边之差小于等于第三边（因为可以三点共线）

实际上有个简单的方法
三个点需要满足
|PF1|≥（|F1F2|-|PF2|）的绝对值
假设成立
5≥2√13-1
6≥2√13
即 3≥√13

Answer 2

因为你用定义算的时候就没排除这种情况，事实上，你一开始算的时候就可以认定|PF2|>|PF1|，直接算就行了

Answer 3

分两种情况讨论实际是讨论P点到底在双曲线左支还是右支上，根据题意，有时这个点P只能在其中一支上，所以会舍掉在另一支上的情况。