Question

泰勒公式为什么要加皮亚诺余项？

Answer 1

皮亚诺余项只是泰勒展开中的余项，只是说原来的方程不完全等于展开项，还有加上一个修正，它是展开最后一项的无穷小，只是一个修正 所以不用在这上面太纠结。

首先明确一点，就是带皮亚诺型余项的泰勒公式相比带拉格朗日的条件要松一阶，拉格朗日要求f(x) n+1阶可导，而皮亚诺只需要n阶可导。

证明原理：构造一个多项式pn=Σ An*(x-x0)^n

假设构造出的pn与f（x）在x0处n阶相切，即二者在x0的原函数值与1~n阶的每一阶导数都想同，另设R=f(x)-pn,则只要证明，系数An与泰勒公式中的系数一致，且R为x→x0的（x-x0）^n的高阶无穷小即可。

扩展资料:

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项

另一类是定量的拉格朗日余项

这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）.

参考资料来源：百度百科-泰勒公式