Question

已知函数f(x)=丨x-a丨,g(x)=ax(a∈R),(1)当a=2时,求使g^2(x)*f(x)=4x成立的x的集合

（2）若a＞0，记F（x）=g(x)-f(x),且F（x）在（0,+∞）有最大值，求a的取值范围
(3)求函数H(x)=f(x)*g(x)在【0,4】上的最大值

Answer 1

 

3、[0,4]上,H(x)=f(x)*g(x)=ax|x-a|

若a<0则在[0,4]上，H(x)=ax(x-a)，函数在【0,4】上单调减少。所以最大值=H(0)=0

若0<a<4则在[0,a]上，H(x)=ax|x-a|在x=a/2取最大值，最大值=a³/2；在[a,4]上，在x=4取最大值，最大值=4a(4-a).所以在[0,4]上的最大值=max{a³/2, 4a(4-a)}

若4<a<8则，在[0,4]上，H(x)=ax(a-x)在x=a/2取最大值，最大值=a³/2

若a>=8,则在[0,4]上，H(x)=ax(a-x)，函数在【0,4】上单调增加，在x=4取最大值。最大值=4a(a-4)