Question

一个高数题:微分方程y’＝e∧（x－y）的通解为？ 我想问什么是通解诶？谢谢了

Answer 1

通解就是满足微分方程的所有解的形式。通常n阶微分方程其通解有n个任意常数C。
当给定的初值条件后，就可以确定通解里的常数C，从而得到特定的解了。
此题，令u=x-y
则u'=1-y'
代入原方程得：1-u'=e^u
u'=1-e^u
du/(1-e^u)=dx
d(e^u)[1/e^u+1/(e^u-1)]=dx
积分得：lne^u+ln(e^u-1)=x+C1
e^u*(e^u-1)=Ce^x
通解即为：e^(x-y)*[e^(x-y)-1]=Ce^x
可化为：e^x=e^y(ce^y+1)

Answer 2

y'=e^(x-y) （1） //: e^(x-y)=e^(x)/e^(y)
e^(y)dy=e^(x)dx
e^(y)=e^(x)+c （2） //: 此为通解
通解是指：微分方程的解式中含有独立的积分常数的个数
恰好等于微分方程的阶数，这个解式就是微分方程的通解
n个积分常数恰好由n个初始条件唯一的确定。
本题是一阶微分方程，其解式中只含一个积分常数c，
(2)式为微分方程(1)的通解。

Answer 3

移过来，变成e^y*y'=e^x,即e^y dy=e^x dx,两边分别积分，得到e^y=e^x+C ,这就是通解，可以写作：y=ln(e^x+C), 其中C为任意常数。。。。通解就是一个方程所有解的集合，是一个集体，而特解是一个特定的解，是一个个体