Question

实变函数问题

f是勒贝格可积的且一致连续，证明当x趋向于无穷时，f（x）的极限是否存在，若存在，证明其是否一定为零

Answer 1

是，并且是零。

可以假定f>=0，否则以|f| 代替f，仍然Lebesgue可积，并且一致连续。如果能证明 |f| 的极限是0，那么自然推出f的极限是0。

现在f>=0。对于给定的h>0，要找一个A，使得当x>A的时候，f(x)<h。我这里敲epsilon比较麻烦。

因为f一致连续，所以存在一个d，只要|x-y|<d，就有|f(x)-f(y)|<h/2。

因为f是Lebesgue可积的，所以存在一个A，使得从A到正无穷，f的积分小于hd/2。那么对于任何的x>A，都必须有f(x)<h。否则有一个f(x)>=h，那么当x<=y<=x+d时，f(y)>=h/2，这样从x到x+d，f的积分大于hd/2，那f从A到正无穷的积分就更大了。

这样证明了f有极限而且极限是0（x趋于负无穷的时候类似）。