Question

实变函数问题求解？

Answer 1

这个基本都是可测函数可积的一些问题，证明思路基本差不多，我在这里给出其中一个的证明，剩下的你可以自己补充。就第一题吧： 记集合 {x属于 E| f(x)>=n} 为 E_n。则有
\sum_{i从0到正无穷} i [m(E_i)-m(E_{i+1})]
<=\int_E f dm=\sum_{i从0到正无穷} \int_{i<=f<i+1} f dm
<= \sum_{i从0到正无穷} (i+1) [m(E_i)-m(E_{i+1})].
如果 f 在 E 上可积，则上式中间一行的项小于正无穷，从而第一行的项也小于正无穷，而第一行有限和化简即为 \sum_{i从0到 n} m(E_i) -m(E_{n+1})，取极限则有
\sum_{i从0到无穷} m(E_i)<+oo。
同理若 \sum_{i从0到无穷} m(E_i)<+oo，则上式第三行小于+oo, 而从中间一行（也即 f 在 E 上的积分）小于 +oo.
其他的几个问题证明基本类似，就第二题稍微复杂一点。

Answer 2

Levi定理：
设{fn(x)}是可测集E上非负可测函数列，若
（1）fn(x)<=f(n+1)(x)，n=1,2,...
（2）在E上几乎处处有lim(n->∞)fn(x)=f(x)
则∫(E)f(x)dx=lim(n->∞)∫(E)fn(x)dx
证明Lebesgue基本定理：
令fn(x)=∑(m=1->n)fm(x)
因为{fm(x)}是可测集E上非负可测函数列
所以∑(m=1->n)fm(x)<=∑(m=1->n)fm(x)+f(n+1)(x)=∑(m=1->n+1)fm(x)
即fn(x)<=f(n+1)(x)
又因为lim(n->∞)fn(x)=lim(n->∞)∑(m=1->n)fm(x)=∑(m=1->∞)fm(x)=f(x)
所以根据Levi定理，∫(E)f(x)dx=lim(n->∞)∫(E)fn(x)dx=∑(m=1->∞)∫(E)fm(x)

Answer 3

这个不会，因为太专业的问题，很难很难

Answer 4

这里建议你去百度那边会有专业的回答

Answer 5

不知道问的是什么，问题不全，看看其他小伙伴怎么看。